A través del contenido impartido por el docente, se incentivará al alumno a analizar y discutir problemas reales en la aplicación de las matemáticas en el diseño.
CONTENIDO
Unidad I – Grafos, Simetría y Proporciones aplicadas al Diseño
1. Concepto de grafo y Digrafo. Elementos principales. Grafos conexos y fuertemente conexos.Matrices de incidencia y adyacencia. Planaridad. Teorema de Kuratowski. Recorridos eulerianos generales y restringidos. Condiciones de existencia. Grafos con recorrido hamiltoniano.Aplicaciones.Grafos poligonales. Fórmula de Euler, justificación de la misma. Grafos regulares y completamente regulares. Los sólidos platónicos.Mosaicos: Definición. Teselado del plano y coloración. Teorema de los cuatro colores.2. Simetrías y movimientos en el plano. Proporciones significativas en Diseño. La sección áurea. El número de Oro, definición matemática. El rectángulo áureo. Construcciones geométricas y sus aplicaciones al diseño. Los números metálicos en general.
Unidad II – Geometría de las formas
1. Introducción al álgebra vectorial
- Sistema cartesiano de representación en dos y tres dimensiones. El punto como par ordenado o terna ordenada, representación gráfica. Concepto de distancia entre dos puntos.
- Vectores en el plano y en el espacio. Características que lo definen: dirección, sentido y módulo.
- Propiedades. Expresión de un vector en forma cartesiana. Aplicaciones de éste concepto a las magnitudes de índole vectoriales. Operaciones básicas entre vectores y entre número reales y vectores. Interpretación geométrica de dichas operaciones. Paralelismo ente vectores. Los versores y su notación canónica.
- Producto escalar entre vectores: Definición, interpretación física de la misma y propiedades.
- Deducción de la fórmula de cálculo para vectores definidos en forma canónica. Aplicaciones geométricas. Concepto de ortogonalidad. Aplicaciones geométricas al cálculo de ángulos entre vectores.
- Producto vectorial: Definición, propiedades e interpretación geométrica. Deducción de la fórmula de cálculo.
- Producto mixto: Definición, propiedades e interpretación geométrica de ello. Aplicación a problemas de índole geométrica.
2. La recta y el plano en el espacio tridimensional
- Ecuación cartesiana de la recta en tres dimensiones. Distintas formas de expresión. Posiciones relativas entre rectas en el espacio. Ángulo de incidencia.
- Ecuación cartesiana del plano. Expresión segmentaria y su representación gráfica. Casos particulares. Incidencia y paralelismo entre plano. Recta intersección. Plano que pasa por tres puntos no alineados. Ángulo entre planos.
- Posiciones relativas entre rectas y planos. Angulo de incidencia y distancias.
3. Las curvas cónicas y las superficies cuádricas
- Las curvas cónicas como intersección entre superficies y como lugar geométrico.
- La parábola: Ecuación cartesiana de la parábola en dos dimensiones, con ejes paralelos a los ejes coordenados. Propiedades y aplicaciones de la misma al diseño en general.
- La elipse: Ecuación cartesiana en dos dimensiones, propiedades y relación entre sus parámetros. Concepto de excentricidad. La circunferencia como caso particular de la elipse.
- Aplicación de ella al diseño.
- La hipérbola: Ecuación cartesiana en dos dimensiones, propiedades y relación entre sus parámetros. Hipérbola equilátera. Excentricidad y rectas asíntotas. Aplicaciones específicas de ella al diseño.
- Definición de superficie cuádrica. Clasificación. Superficies regladas y de revolución.
- El elipsoide, casos particulares. La esfera. Ecuaciones cartesianas. Gráficos en tres dimensiones. Aplicaciones concretas al diseño.
- Hiperboloides de una y de dos hojas. Ecuaciones cartesianas. Gráficos de las mismas en el espacio tridimensional mediante el cálculo de las trazas. Análisis de obras arquitectónicas donde puede apreciarse la presencia de ellas.
- Paraboloides elíptico e hiperbólico. Sus ecuaciones cartesianas. Gráficos tridimensionales con diferentes orientaciones mediante el cálculo de las trazas.
- Casos límites y casos particulares: El cono circular recto y las superficies cilíndricas.
- La hélice circular recta y la helicoide como casos de curvas definidas por parámetros. Aplicación a la arquitectura y al diseño en general.
Unidad III – Aplicaciones del cálculo diferencial e integral
1. La derivada y sus aplicaciones geométricas y físicas
- Repaso del concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física de este concepto. Aplicación al cálculo de la recta tangente y de la recta normal a una curva en un punto.
- Crecimiento, Decrecimiento, Máximos y mínimos relativo de una función. Definición. Cálculo de los mismos mediante el uso de las derivas primeras. Problemas de optimización.
- La derivada segunda. Interpretación geométrica y física de ello. Los puntos de inflexión.
- Concepto de concavidad. Construcción de diagramas de las funciones derivada primera y segunda a partir del gráfico de la función. Trazado de curvas.
- Diferencial de una función en un punto. Concepto e interpretación geométrica. Aplicación a cálculos aproximados, variaciones con el tiempo y cálculo de errores.
2. La integral y sus aplicaciones geométricas y físicas
- Repaso de concepto de integración y sus propiedades: Propiedad de linealidad. Integrales inmediatas, método de sustitución de variables.
- La integral definida. El problema del área. Propiedades y regla de Barrow. Aplicaciones geométricas: área entre curvas, volumen de revolución, longitud de arco.
- Curvas asociadas a las primitivas de una función. Esfuerzos característicos, momentos y diagramas de carga.
- Aplicaciones físicas: Momentos de primero y segundo orden para puntos materiales alineados y en un plano. Cálculo de centro de gravedad y del momento de inercia de figuras planas descomponibles en rectángulos. Teorema de Steiner.
- Cálculo del centro de gravedad y del momento de inercia mediante el uso de integrales.
- Otras aplicaciones físicas: Trabajo mecánico realizado por una fuerza de intensidad variable. Ley de Hooke. Presión hidrostática.
Unidad IV – Elementos de probabilidades y estadística
1. Objeto e importancia de la probabilidad en la vida cotidiana. Aplicaciones
- Los sucesos aleatorios. Espacio muestral. Definición clásica de probabilidad según Laplace y consecuencias de ello. Definición axiomática según Kolmogoroff. Sucesos excluyentes y no excluyentes. Probabilidad total, sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad condicional, teorema de Bayes e independencia de sucesos. Resolución de problemas aplicando dichos conceptos.
- Variables aleatorias. Definición. Clasificación en variables discretas y continuas. Concepto de esperanza matemática y varianza.
- Variables continuas, función de densidad: Distribución Normal, Campana de Gauss.
- Estandarización. Aplicación a problemas afines.
- Uso de tablas estadísticas para simplificación de cálculos.
2. Objeto e importancia de la estadística descriptiva. Aplicaciones
- Población. Muestra. Variables estadísticas. Intervalos o clases. Frecuencia: absoluta, relativa, acumulada. Tablas y gráficos. Histogramas. Poligonales de frecuencia.
- Parámetros estadísticos. Medidas de posición: Media, Mediana y Modo. Media para datos agrupados. Sus limitaciones. Medidas de dispersión: Rango. Varianza. Desviación típica o estándar. Propiedades. Coeficiente de variación. Interpretación de datos.
Unidad V – Elementos de Topografía
1. Objeto e importancia de la Topografía. Problemas de planimetría y altimetría
- Repaso de conceptos matemáticos afines. Las funciones trigonométricas y sus teoremas asociados. Aplicación a la medición de distancias entre dos puntos fijos. Cálculo de distancias entre puntos no accesibles.
- Errores. Correcciones a las mediciones. Medición de ángulos y lados en lotes. Ejemplos de aplicación. Cálculo de superficies por método de triangulación.
EVALUACIÓN
Se tomarán tres exámenes parciales con contenidos exclusivamente prácticos y un examen final. En éste último serán evaluados los conceptos teóricos y ejemplos concretos de aplicación, propuestos por el alumno. La interpretación, formalidad, uso de lenguaje apropiado, claridad en la exposición y la presentación del examen es parte dicha evaluación. La evaluación de los aprendizajes logrados durante la cursada se harán efectivos a través de tres exámenes parciales, escritos, presenciales e individuales. Cada una de ellas, posee además una instancia de recuperación. Las fechas de estas evaluaciones se establecen en el cronograma de cada curso y se califica como «Aprobado» o «Insuficiente».
Para aprobar la materia se requiere cumplir:
- Con las condiciones de aprobación de la cursada.
- Aprobar el examen final regular, presencial, de carácter escrito exclusivamente e individual.
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